42这个数字很神奇吗，42是个什么数字
chanong
|最近，数学家们终于算出了三个整数的立方和：42。这解决了一个思考了65年的问题，让42不再是最孤独的数字。事实上，42岁一点也不无聊。嗯，这不是什么秘密。
这个数字在道格拉斯·亚当斯的《银河系搭车客指南》中意义重大，它是“关于生命、宇宙和一切的终极问题”的答案。这一发现立即引发了新的问题。关于生命、宇宙以及其间一切的真正终极问题是什么？亚当斯先生简单地询问了他的朋友们，他们一致认为42是最无聊的数字。他说他选择这个数字就是因为这个。在这里我想保护42免受这样的诽谤。从数学上来说，42 无法与4、pi 甚至17 相比。然而，这并不完全无聊。 42 是普朗克数，加泰罗尼亚数，也是最小的幻方常数。当然，还有一些其他功能。
Pronic 数所谓的Pronic 数（也称为平方数、矩形数或反常数）是指两个连续整数的乘积，其形式为n(n+1)。对于n=6，6 x 7=42。第n 个三角数是1/2[n(n+1)]，因此普洛尼克数是三角数的两倍。这也是前n 个偶数的和。由普洛尼克数编号的点可以放置在一个矩形中，该矩形的一侧比另一侧大1（图171）。
图171 前六个Plonik 数字。阴影区域显示了为什么三角形数量是原来的两倍。
这是一个关于高斯的故事，当他还是个孩子的时候，他的老师让他解决一个一般形式的问题。
按降序写出相同的总和，我很快发现：
相应的数字对的总和等于101。这样的对有100 个，所以它们的总和是100 x 101=10100，这是Pronic 数。老师问题的答案是这个数字的一半，即5050。然而，我们不知道高斯的老师实际上在课堂上给出了什么样的问题，而且可能要困难得多。如果是这样，高斯是更明智的选择。
第6 个加泰罗尼亚数加泰罗尼亚数出现在各种组合问题中，这些问题涉及完成各种数学任务的计数方法。这个问题可以追溯到欧拉，他计算了一个多边形可以分成多少种顶点相连的三角形。尤金·卡塔兰随后发现了此类问题与代数之间的关系：在加法或乘法运算中插入括号的方式有多少种。稍后我会解释更多，但首先让我介绍一下这些数字。
对于n=0, 1, 2, …，前几个加泰罗尼亚数字Cn
使用阶乘，我们得到以下公式：
如果n 很大，也可以获得良好的近似值。
这是 出现在看似与圆或球无关的问题中的另一个例子。
Cn 是将正(n+2) 多边形划分为三角形的不同方法的数量（图172）。
图172 将六边形分成三角形的14种方法
这也是生成的具有n+1 个叶子的二叉树的数量。二叉树从根节点开始，并从此节点向两侧分支。每个分支以一个点或叶子结束。每个点必须继续分支成两个分支（图173）。
图173 五棵四叶二叉树
如果这个想法看起来有点令人困惑，那么它与代数有直接的联系。 —— 计算在加法或乘法运算中插入括号的方式总数。例如，对于abcd，它可能是C5。
一般来说，有Cn 种方法可以在n+1 个符号之间插入括号。要理解这些关系，请按顺序填写树叶上的这些符号。如果一对叶子具有相同的节点，则插入括号。首先从左到右标记四个叶子a、b、c 和d，如图174 所示。然后在连接b和c的节点旁边从下到上标记(bc)。它上面的节点将a 连接到标记为(bc) 的节点，因此新节点对应于(a(bc))。最后，顶部节点连接(a(bc))和d，因此变为((a(bc))d)。
图174 将二叉根树转换为代数
加泰罗尼亚数也出现在许多其他组合问题中，但这些是最容易解释的。
3 X 3 X 3 魔方的幻方常数为42。这样的魔方包含每个数字1、2、3.27 一次。平行于边或穿过中心的每行对角线上的数字之和相等。 —— 这个和称为幻方常数。所有27 个数字的总和为1 + 2 + . + 27=378。这些数字可以分为9个不相交的3元素集合，将每个3元素相加后我们可以得到幻方常数，因此幻方常数为：
这种安排是存在的，图175 就是一个例子。
图175 3 X 3 X 3 魔方的三个连续层
附加功能1. 42 是10 的不同除法的数目。要进行分区，必须将数字写为按自然顺序排列的整数之和。
2. 42是第二个楔数，所谓楔数是指三个不同素数的乘积。这里，42=2 x 3 x 7。
3. 42是第三个15边形数，与三角形数类似，但基于常规15边形数。
4. 42 是一个完全数，是超倍数。它是其约数（包括42）的和，等于6 次重复。
5. 在一段时间内，42 是最著名的 不合理性度量，并且是量化 “不合理”程度的准确方法。特别是，Kurt Mahler 在1953 年写道，对于任何有理数p/q，
然而，V. Kal Salikov 在2008 年将42 修改为7.60630853，所以42 又很无聊。
6. 42 是第三个本原伪完全数。所谓的本原伪完全数必须满足条件：
这里，Pj 是整除N 的另一个质数。前几个原始伪完全数是：
7. 42 是n，使得存在四个小于n 的不同正整数a、b、c 和d，使得ab - cd、ac - bd 和ad - bc 都可以被n 整除。这是唯一已知具有此属性的数字，但尚不清楚是否存在其他此类数字。
8. 42 是已证明的香肠猜想的最小维数（见第56 章）。然而，这里42 的意义取决于当前的知识，因为这个命题被认为适用于五个以上的维度。
你能看见它吗？ 42一点也不无聊！
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作者：伊恩·斯图尔特译者：何升
《斯图尔特教授》堪称杰作，仅次于《数学万花筒》。本书介绍了各种各样的数字，从常见的自然数0到10到负数，从“简单”的有理数到复杂的、可变的有理数和无理数。找到最大的质数。最小的数直到无穷大。每个数字都有自己的故事，围绕这些数字，作者不仅讲述了每个数字背后的历史，还提出了许多有趣的数学问题，让这些数字对读者来说变得有趣。神奇的数学世界。 ”