牛津数学系教授，牛津大学数学博士

编辑：LRS

【新智慧导论】一切被攻克的与素数有关的猜想，背后都隐藏着数学家数十年的努力。近日，牛津大学一位26岁的数学博士突然灵机一动，成功解决了34年前的素数猜想。他的导师听到这个消息非常震惊。在大于1的自然数中，除了1和它本身之外，不能被任何其他自然数整除的数称为素数。由于其特殊的性质，素数一直是数学家和计算机科学家的研究热点，围绕素数诞生了许多著名的数学猜想。几十年来，数学家们付出了巨大的努力来证明这个猜想，并且这个猜想不断被非素数序列证明。在最终证明之前。 Jared Duerr Lichtman 于2018 年开始研究本原集合猜想，这也是他在达特茅斯学院本科生的最后一年。

毕业后，他进入牛津大学，师从詹姆斯·梅纳德教授攻读博士学位，继续研究本原集合猜想等素数问题。梅纳德在数学领域也是出了名的残忍，他在读博士的时候，别人开小组会议的时候他会被骂，梅纳德来参加小组会议的时候他的导师也会骂他。我就是这么称呼它的。合作。

詹姆斯·梅纳德2013年5月，张益坛证明了孪生素数猜想。有无限多对相差不到七千万的素数，它们一举解决了一个世纪的数学难题。后来陶泽焕启动了Polymath项目，将上限降低到了246。仅仅六个月后，梅纳德又发表了一篇论文，他独立开发了一种比张益堂更强大的算法，将上限降低到600，并且不仅可以应用于素数对，还可以应用于三元组、四元组、等等，我做到了。也就是说，这群数学家对素数有着很深的了解，并且正在想方设法证明与素数相关的各种猜想。利希特曼研究素数已经有四年了，他的研究方向始终集中在本原集合猜想和其他素数问题上。

今年2月的一天，26岁的利希特曼突然向他的导师梅纳德宣布，“我已经彻底证明了最初的集体猜想！”梅纳德先生说：“我非常震惊！”

论文链接：https://arxiv.org/abs/2202.02384

34年前的推测20世纪30年代，匈牙利数学家Paul Erdos提出了本原集合的概念，它是指每个数字都大于1且互不排斥的整数集合。由于所有素数都不能被彼此整除，因此素数集合代表了本原集合的一种特殊情况。

当时，本原集的作用仅限于证明某些类型的数，也称为完美数。本原集的定义很简单，但在数学界具有很大的价值。例如，包含从501到1000的所有整数的集合也是一个本原集合，因为它彼此不可整除，这样我们就可以得到大量的本原集合。数学家后来定义了原始集合大小的多个概念，而不是简单地检查集合中元素的数量。其中之一称为Erds 和，这意味着取集合中的每个数字n。只需将其代入表达式1/( n log n) 并将所有结果相加即可。

集合{2, 3, 55} 的大小可以计算为1/(2 log 2) + 1/(3 log 3) + 1/(55 log 55)。

1935年，Erds证明，对于任何原始集合，即使是无限集，Erds和的值总是存在上限。

这个求和公式“至少表面上是完全陌生和模糊的”，但从某种意义上来说它减少了本原集的混乱，而能否正确使用这个公式就是使用本原集的标准。一个自然的问题是：本原集合的最大Erds和是多少？1988年Erds推测素数集具有最大的Erds和，结果是1.64。几十年来，数学家一直在努力证明一些聪明的东西，但它只适用于某些类型的原始集合。 2019年，他和达特茅斯学院的导师Karl Pomerans发现，本原集的Erds和不能超过1.78，仅比素数猜想的值大10%左右。 Lichtman 和Pomerance 通过将新的多重序列与给定基元集中的每个数字相关联来获得该常数。例如，在原语集合{2,3,55}中，数字2与每个偶数序列相关联。与数字3 相关的是所有不是2 的倍数的3 的倍数。与数字55 (5 11) 相关的所有内容都是55 的倍数。因此，乘数的最小质因数为11（不包括乘数）。所有乘数均可被、3、5 和7) 整除。利希特曼将此比作字典中单词索引的方式，仅使用素数而不是字母来组织每个序列。

然后他和波默兰斯考虑了这些多重数列的“密集”程度，即它们占据了数轴的多少。例如，所有偶数序列的密度是1/2，因为偶数占所有数字的一半。他们观察到，如果原始集合是本原集合，则与其关联的序列不会重叠，因此它们的组合密度至多是所有整数的密度。这一观察很重要，因为19 世纪数学家Franz Mertens 的定理本质上允许Lichtmann 和Pomerans 根据Erds 的本原集合的密度重新解释其总和。根据Mertens 定理，将一个特殊常数（约等于1.78）乘以与这些倍数的联合密度相对应的项，可得出原始集合的Erds 和的最大值。由于组合密度至多为1，Lichtman 和Pomerance 证明了本原集的Erds 和至多约为1.78。 James Maynard 表示，这是Erds 最初想法的变体，但这是一种非常聪明和简洁的方法，可以得到不太严格但也不算太糟糕的上限。多年来，这似乎是数学家能做的最好的事情，但尚不清楚如何将这个最大值降低到1.64。毕业后，利希特曼正在牛津大学跟随梅纳德攻读博士学位，当时他第一次意识到他之前与波默兰斯的论点对于质因数相对较小的数字仍然成立。因此，在本例中，相对容易证明它是常数1.78。您可以将其推至远低于1.64。但质因数相对较大的数（从“接近”质数的意义上来说）则是另一回事。

为了解决这些问题，利希特曼找到了一种方法，不仅可以将一个倍数序列与每个数字关联起来，还可以将多个序列关联起来。和之前一样，所有这些序列的连接密度最多为1。但这一次，这些其他多种植物会像杂草一样生长并占据空间。对于数字618 (2 3 103)，一般来说，618 的所有倍数都可以与其关联，使得乘数的最小质因数为103。然而，也可以使用一些被省略的小素数来构造序列。例如，序列由所有本原倍数组成，但在乘数可被5 整除的情况下，也允许使用618 的倍数，但存在一些限制来确定是否可以使用更小的素因数。这些额外倍数的存在意味着原始倍数的组合密度（默滕斯定理中使用的数量）实际上小于1。利希特曼找到了一种更准确地确定密度的方法。然后，他仔细确定了原始集的最坏情况是什么：具有大质因数的数字和具有小质因数的数字之间的平衡是什么。通过结合证明的两部分，他能够证明本例中Erds 和的值小于1.64。二月份，利奇曼在网上发布了证据。数学家指出，这项工作特别值得注意，因为它完全依赖于基本论证和非常聪明的想法。 “这是实现这一价值的关键时刻。我不知道这是运气还是什么，但数字已经足够好了，”梅纳德说。这些想法确立了素数在原始集合中的特殊性，并且将Erds 和排在首位。

参考：

https://www.quantamagazine.org/graduate-students-side-project-proves-prime-number-conjecture-20220606/