中国古代乘除法，古代有乘除法吗
chanong
|\r BOOK 1\r\r 方天舒说道：将步数相乘，即可得到累计步数。将其除以mu 方法的240 步，即可得到mu 数。 100 英亩就是1 公顷。
\r\r 目前，天光从3/5步到4/7步。场的形状是什么？
\r\r 答案是12/35。
\r \r 还有天光9步中的第7步，但是从11步中的第9步开始，天光的几何图案是什么？
\r\r 答案：11 分中的7 分。
\r \r 还有天光，步数为9/5 到4/5。场的形状是什么？
\r\r 答案是9 中的4。
\r \r 乘法的艺术说：“母亲的乘法是方法，孩子的乘法是现实，现实同法则。”
\r \r 今天是庆太宏从第21 段到第12 段。场的形状是什么？
\r\r 答案是126步。
\r \r 还有Hiro Keita的55步、2步、853步中的2步。场的形状是什么？
\r\r 答案是23 步，6 步中的5 步。
\r\r 该技术指出：将右侧的下一个值乘以宽度的一半。
\r\r 原文\r\r [1] 今天Tenko有15步，从第16步开始[1]。场的形状是什么？
\r\r 答案是1 英亩。
\r \r [2] 今天天高有12步，从第14步开始。场的形状是什么？
\r\r 答案是168步。
\r\r 方天舒[2]说：将步数相乘得到累计步数[3]。 mu 的数量除以mu 方法的240 个步骤[4]。 100 英亩就是1 公顷。
\r\r 注释\r\r [1] 宽：宽。来自： 很长。
\r\r [2] 矩形场计算问题：指方形场计算问题（包括矩形和正方形）。技术：计算规则。
\r\r [3]乘积中的步数：以一侧的长度为步长的区域的正方形内的步数，即长（步长）x宽（步长）。
\r\r [4] Mu 方法：从平方步转换为Mu 时使用的除数为240。同样，“战神法”是除100，用于将英亩转换为公顷。
\r\r 翻译\r\r [1] 已知一个字段的宽度为15 步，长度为16 步。这块地的面积是多少？
\r\r 答：这块田的面积是1亩。
\r\r [2] 已知一个字段的宽度为12 步，长度为14 步。这块地的面积是多少？
\r\r 答案：168（平方）步。
\r\r 正方形（包括长方形和正方形）字段的算法将长度和宽度相乘，以—— 平方步长得到面积。使用亩法将240 平方步的面积划分为—— 平方步或英亩。 100 英亩就是1 公顷。
\r\r 解释\r\r [1] 如图1-1所示，所需字段个数为：
\r\r 15 步x 16 步=240 平方步=1 亩。
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\r\r（图1-1）
\r\r [2] 参见图1-1。所需字段的数量为：
\r\r 12 步x 14 步=168 平方步。
\r\r 技术说明\r\r [1] 乘积步长=光 丛。
\r\r [2] 英亩=累计步数 240 平方步数。
\r\r [3] 1 公顷=100 英亩。
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\r\r 记录长江水位的礁石。图为重庆庆陵长江航道内的一处巨大礁石。那里记录了从唐代到民国1200多年的长江低水位数据。这是证明中国自古以来就测量和记录水位的文物。
\r\r 原文\r\r [3] 如今，田野一里宽。场的形状是什么？
\r\r 答案是3公顷，75英亩。
\r \r [4] 还有二里天光，三里聪。场的形状是什么？
\r\r 答案是22公顷，50英亩。
\r\r 李天枢[1]说：乘以光从李的数量得到吉李[2]。将此乘以375 英亩。这是英亩数。
\r\r 注释\r\r [1] 李天舒：用边长（英里）计算田地面积单位。
\r\r [2] 产品Li：边长以英里为单位的区域的平方步数，或长度（英里）x 宽度（英里）。
\r\r 翻译\r\r [3] 已知一块田地宽1 英里，长1 英里。这块地的面积是多少？
\r\r 答：这块田的面积是3公顷，即75英亩。
\r \r [4] 已知一块田地宽2 英里，长3 英里。这块地的面积是多少？
\r\r 答：这块田的面积是22公顷，50亩。
\r\r 边长以英里为单位的田地的算法为：宽度（英里） 长度（英里）=面积（平方英里）；将所得面积（平方英里）乘以375 英亩。这将是您正在寻找的。英亩数。
\r\r 释义\r\r [3] 1 英里=300 步，1 亩=240 平方步，1 公顷=100 英亩。
\r\r 面积：（300 步x 300 步） 240=375 英亩；375 英亩 100=3 公顷和75 英亩。
\r\r [4] 所需字段数为：
\r\r 23375 英亩=2250 英亩；
\r\r 2250 英亩 100=22 英亩和50 英亩。
\r\r 技术解释\r\r [1] 吉力=光（力）x 功（力）。
\r\r [2] 英亩数=面积 375 英亩。
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\r\r 棋局北宋科学家沈括酷爱围棋，用数学方法研究围棋的奥秘，计算围棋的临界变化数。根据他的计算，围棋的最大变化次数大约是“连续52 步”，这在现代数学中是连续10 次x 208 次，即1.0 x 10208。虽然这种计算方法的科学性尚未得到证实，但不可否认的是，围棋与数学有着密切的联系。
\r\r 原文\r \r [5] 现在是12 月18 日，我们将从协议中收到多少？
\r\r 答案是三分之二。
\r\r [6] 又到了49/91。交易金额是多少？
\r\r 答案是7/13。
\r\r 减半技术中[1]，能减半就减半。如果不能减半，可以将分母和子数代入，用少换多，用多换多。相互减去以找到相等的值。用相同的数字近似。
\r\r 注释\r\r [1] 归约：一般划分规则。
\r\r 翻译\r\r [5] 现在，如果我预订的话，我能得到多少钱？
\r\r 答案：
\r \r [6] 另一个问题是划分要花多少钱？
\r\r 答案：
\r\r 约简的规则是，如果分子和分母都是偶数，则先除以2。否则，将分母和分子分开在一处，然后减去小数点中较大的数，如此反复相减。求最大公约数，并用最大公约数来约简分子和分母。
\r\r 解释\r\r [5] 6 是12 和18 的最大公约数。
\r\r [6] 7 是49 和91 的最大公约数。
\r\r 技术讲解\r\r（以本卷第一题[6]为例）
\r \r [1] 可以分为两半。由于分子和分母都是偶数，所以我们可以先除以2。
\r \r [2] 不可分的东西.求它们的相等性：相等，即相等的数，最大公约数。
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\r\r 要求49 和91 的最大公约数，请将这两个数字放在一处。先是91-49，余42分，然后是49-42，余7分，然后是5次42-7，余7分。结果是左右余数相等。等余数7是49和91的最大公约数。
\r \r 通过“增减”求最大公约数的方法是中国古代数学家的一项伟大发明，与欧几里得第七册，《几何原本》第一题中讨论的方法相同。钱宝聪《中国数学史略》 说道： “在意大利人本基奥里1494年写的算术书中，也用减法的方法求最大公约数。他本人认为这种方法源自罗马数学家博伊。``这种方法的由来是由德西可能来自中国。” 目前用来求两个数的最大公约数的欧几里得除法是由“多相减法”法演变而来的。
\r\r [3]等大小近似：除以7对时，结果如下。
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\r \r 仰韶文化遗址出土的彩陶图为仰韶文化遗址出土的彩陶。这些彩陶上刻有许多符号，这很可能就是数字的起源，也是我国最早的计数符号。除了这些雕刻符号外，数字的概念和应用也体现在许多陶画中。在创作陶画的过程中，需要计算图案组合中各个装饰的大小和位置，这说明当时的人们已经掌握了数字规律，即使没有物体也具备了计数的能力。我明白。
\r\r 原文\r\r [7] 现在是1/3 和2/5。该组合的几何形状是什么？
\r\r 答案是11/15。
\r \r [8] 有2/3、4/7、5/9。该组合的几何形状是什么？
\r\r 答案是1,563。
\r \r [9] 有1/2、2/3、3/4 和4/5。该组合的几何形状是什么？
\r\r 答案是20, 43/60。
\r \r 结合与分割的艺术[1]指出：母亲将她的孩子相乘，他们在现实中结合在一起。母乘是法则，现实亦如法则。不满法者，受法令，同母者，直受法。
\r\r 注释\r\r [1] 求和：分数相加的算法。
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\r\r 木制水车木制水车是一种用来从井里打水的工具。使用木桶代替刮刀，并将一系列木桶连接到井末端的垂直轮上。随着立轮的转动，木桶不断上升并接水。图为木桶水车的结构。
\r\r 翻译\r\r [7] 现在，总共多少钱？
\r\r 答案：
\r\r [8] 同样，这三个数字的和是多少？
\r\r 答案：
\r \r [9] 同样，这四个数的和是多少？
\r\r 答案：
\r\r 分数相加的规则是分母和分子交替相乘，它们的乘积之和成为被除数，分母的乘积成为除数。将股息除以除数。如果除法不完全，则以余数为分子、除数为分母求分数。如果分数具有相同的分母，则可以直接使用分子将它们相加。
\r\r 解释\r\r
\r\r 技术讲解\r\r （以本卷第一题[8]为例）
\r \r [1] 母亲们彼此相乘，并接受它为现实。
\r\r 母亲的相互乘数：279=126、439=108、537=105。并认为这是真的。将这些加在一起，支出为126 + 108 + 105=339。
\r\r [2] 对于乘法，379=189 是除数。方法：指除数。
\r \r 与[3]规则相同，被除数等于除数的部分为1（例如，可以从339中提取189）。
\r \r [4]法律是对法律不满的人的命令。如果不可整除，则说明余数是分数，以实际数为分子，模数为分母。例如，如果余数为339-189=150，分子为150，分母为189，则近似结果为：
\r \r [5] 如果分母相同，则直接将分子相加。
\r\r 等
\r\r 原文\r\r [10] 今天8/9，减少了1/5。您对其余的几何还有疑问吗？
\r\r 答案是31/45。
\r \r 【一】有四分之三，减少三分之一。您对其余的几何还有疑问吗？
\r\r 答案是5/12。
\r \r 减法的技巧[1]是“母乘，就是少减多，余即实。母乘是法，实同法。”。
\r\r 注释\r\r [1] 减法：分数减法的算法。
\r\r 翻译\r\r 现有、减法。有什么不同？
\r\r 答案：
\r \r 【一】是，相减。有什么不同？
\r\r 答案：
\r\r 分数减法的算法是，分母和分子相乘，多数数减去小数，余数作为被除数，分母相乘作为除数，被除数除以除数，得到结果编号。
\r\r 解释\r\r [10]。
\r\r[11]。
\r\r 技术讲解\r\r （以本卷第一题[1]为例）
\r \r [1] 对于母亲，用较小的数减去较大的数并相乘，余数成为实数。
\r\r 母交叉乘数：分母和分子交叉相乘。
\r\r 58=40，19=9。
\r\r 较小值减去较大值：较大值减去某个值（40-9=31）。余数是实数：减法的结果是余数31，即被除数（即“实数”）。
\r\r [2] 方法是分母相乘。分母相乘就是除数（或“方法”），即9 x 5=45。
\r \r 和[3]规则一样，被除数除以除数，结果是3145=。
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\r \r 河图相传伏羲统治天下时，一匹马背着一幅画从黄河中跳下，马身上有五十个白点和黑点，用直线连接起来，上面写着数字“10”。事情完成了。后人称之为“河图”。 《河图》共有10个数字，故又称《十数图》。 “河图”有三层含义：一是用数字来确定五行的方向，二是导出五行产生的数字，三是连接人与天，是一种科学抽象。信件的整体情况。地球基于大衍数原理。
\r\r 原文\r\r [12] 今天是5月8日16点到25点。哪一种比较常见？几何如何？
\r\r 答案是16/25或更多，23%或更多。
\r \r [13]有8/9和6/7。哪一种比较常见？几何如何？
\r\r 答案是8/9或更多，63或更多。
\r \r [14]有821和1750。哪一种比较常见？几何如何？
\r\r 答案是8/21或更多，43/1500或更多。
\r\r Kefenshu[1]说：母相乘，小数减去大数，剩下的其实就是母与模的乘法。事实是，只有一项法律。相数较多。
\r\r 笔记\r\r [1] 课程分数：比较两个数的大小，找出较大的分数比较小的分数大多少。
\r\r 翻译\r\r [12] 来吧。哪个分数更大？大多少？
\r\r 答案：大，大。
\r \r [13]还有一题，哪一个得分更高？它会变得多大？
\r\r 答案：大，大。
\r \r [14]我还有一个问题，哪一个的分数多？还有多少？
\r\r 回答：有很多。
\r\r 比较分数的算法是分母和分子相乘，较大的数减去小数，结果是被除数（新分子），分母乘以分母，成为除数（新） 。分母）；股息除以除数的结果就是多余的部分。
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\r \r 石斧商代的农业生产者是由两种身份的人组成的。一类是彝族，他们以家庭为单位耕种和维护公共土地。他们自己的收获，另一个是“人民”，或者说劳动奴隶，他们耕种商王和贵族拥有的土地，收获属于商王和贵族。照片中的石斧是镇民耕田常用的工具。
\r\r 解释\r\r [12] 比较两个数字时，较大的那个是多余的数字。
\r\r [13] 比较两个数，较大的数如下。
\r\r[14]，
\r\r 比较两个数字，哪个较大？较大的数字是：
\r\r 技术讲解\r\r (以本卷第一题[14]为例)
\r\r [1]母互乘数：850=400、1721=357。进一步减少：400-357=43。余数是实数。 43 用作被除数（新分子，或“实数”）。
\r \r [2] 母乘法就是方法。 2150=1050 是除数（新的分母，或“方法”）。
\r \r [3]真理是一个，即多个，又是一个新的结果，即多个部分。
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\r\r 竹竿降水示意图《天工开物》 图用竹竿运水，选择两根不同大小的竹竿，将它们连接在一起，将竹竿的中间部分放在竹梯的顶部将小竹竿的另一端固定在水桶上。其原理是通过推下附在竹梯上的大竹竿来从井中提水。当大竹竿松开时，小竹竿就掉出来，水桶又回到井里。图为古人用竹竿挑水的景观。
\r\r 原文\r\r [15] 现在我们有三分之一、三分之二、四分之三。问题是，如果减少的多，收益少，是否都是等比的[1]和等于[2]？
\r\r 答案是：2 减去四分之三，1 减去三分之二，然后加上三分之一，每个都等于7/12。
\r \r [16] 有1/2、2/3 和3/4。如果减少的多，得到的少，而且都几何相等怎么办？
\r\r 2/3 减1，3/4 减4，然后加上一半，答案是23/36。
\r\r 二分法[3] 指出：母亲将自己的孩子相互相乘，两个孩子的并集是显而易见的，母亲的相乘是有规律的。任何未通过乘以列号合并的内容都被视为真实列，并且列号也会相乘。从简单值中减去实际值，并通过近似值减少余数。削减的有利于小范围，维持治安平衡，每个人都得到平衡。
\r\r 注释\r\r [1] 几何：多少。
\r\r [2] Ping：平均。
\r\r [3] 二分法：计算分数的平均算法。
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\r\r 舒野铜漏舒野铜漏，1977年出土于山东省舒野县红土山西汉墓中。该容器是圆柱形的并且具有平坦的表面。高79.3厘米，口、底直径各47厘米，壁厚0.7厘米，重74公斤。腹部中央有两个对称的铜环，距容器底部5厘米有一圆孔，可供铜漏出。夹板是人类生活中重要的计时工具。图为巨野漏铜图。
\r\r 翻译\r\r [15] 来吧。如果减少较多而增加较少，则这三个数字分别应增加或减少多少才能得到平均值？
\r\r 答案：如果将减去的所有内容相减、相减、相加，则这三个数字等于它们的平均值。
\r\r [16] 再次。如果减少较多而增加较少，则这三个数字分别应增加或减少多少才能得到平均值？
\r\r 答案：如果减去它，减去它，然后将所有减法相加，则这三个数字等于它们的平均值。
\r\r 部分平均值的计算规则是将分母和分子相乘，将乘积相加作为平均值的分子（简单），然后将分母相乘作为除数。将每一列的分子乘以列数（即分数的个数），得到该列的新分子（真实的列数）。同样，将“方法”乘以列号作为新的分母。 “列出”的每个（较大）事物都被“简单”减去，所得余数（使用新的分母）被减少到要减去的数字（较大的数字）。将减去的数字之和添加到较小的数字，以便每列中的分子是“普通”。以“plain”为分子，相应的除数为分母，每个数字就是其平均分数。
\r\r 解释\r\r [15] 首先，求这三个数字的平均值。
\r\r 如果我们将这三个数字分别减去它们的平均值，我们会得到以下结果：
\r\r [16] 首先，求这三个数字的平均值：
\r\r 从平均产量中减去这三个数字：
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\r \r 《鱼鳞清册》 书籍和电影万历九年，张居正下令全国清理土地，以增加政府收入，编制了《鱼鳞清册》。照片为一处16米空地的鱼鳞图集。这是全国本次土地清理的记录。从第1号至第2142号，用“翔”字编号，共绘制了2142处地貌，并写有主人的名字。今年，全国共发现隐秘土地147万公顷。
\r\r 技术讲解\r\r (以本卷第一题[16]为例)
\r\r [1] 母交叉乘数：将分母和分子相乘，将三个数字相乘。根据“母互乘数”，三组的数字分别为：=12，224=16，323=18。
\r \r [2] 子联合很简单。另外，将“母交叉乘数”的三个数字相加作为平均值的分子。 Union：加法；plain：平均值的分子在这个问题中，“plain”=12+16+18=46。
\r\r [3] 乘法为234=24。
\r\r [4] 将列中的数字相乘而不将它们组合。
\r\r 3（列数）
\r\r [5] 中的每一个都是事实列表。另一组分子是[4]中的36、48和54。
\r\r [6] 列乘法：
\r\r 3（列数） 24（参见[3]）=72。
\r \r [7] 列实数的简单减法：将大于46 的列实数48 和54 简单减46。即48-46=2，54-46=8。余数是2和8。
\r \r [8] 减去余数。用分母72 近似余数2 和8，并用最大公约数2 减去结果，即“减3”。答案中，四分之二是1，四分之三是4。 1和4指分子数。
\r \r [9] 而在减法中，数字越少是有利的。将小于“正常”46 的“真实”36 除以2，然后将减去的数字之和加上18。即18+5=23。
\r\r [10] 以法律为基础强制显而易见性，各得其所。 “简单性”46（参见[2]），“fa”72（参见[6]），“法律命令”“可理解性”，即大约。每个人都有自己的。减去更多的值后，这三个数字等于算术平均值，因为越少越好。换句话说：
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\r\r 北朝魏铜丘铜丘腹部呈五瓣瓜棱形，上下饰有大小花瓣相间，凸起部分有15行纹铭文.被刻.瓜棱镜零件。图为北朝、魏代的铜坠，坠底部刻有“平”字。上图是铜配重的前视图。
\r\r 原文\r\r [17] 今天有7 个人，分8 分和3 分。你问过人们他们拿了多少钱吗？
\r\r 答案：该男子收到四分之一便士。
\r \r [18] 有3 个人将获得6 分的1/3、6 分的1/3 和4 分的3/4。你问过人们他们拿了多少钱吗？
\r\r 答案是每人分2分钱和8分钱。
\r \r 精分书[1]曰：人之数即法，钱之数即实，实与法同。能辨别的人就会明白。不同的事物是相同且相关的[2]。
\r\r 注释\r\r [1] 子午线除法：一种除法分数的算法。
\r\r [2] 如果分母和分子是带分数，则必须转换为假分数运算。
\r \r 翻译\r \r [17] 有七个人把钱分成一堆。人均收入是多少？
\r\r 答案：每个人都收到钱。
\r \r [18] 分享金钱和金钱的人又出现了。人均收入是多少？
\r\r 答案：每个人都收到钱。
\r \r 分数除法的计算规则是人数除以除数、钱数除以被除数、除数除以被除数得出结果。如果除数和被除数包含带分数，则必须将它们转换为假分数。
\r\r 解释\r\r [一七] 金钱 7=金钱。
\r\r [18] 金钱=金钱。
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\r\r 压土《天工开物》 插图古代，南方和北方的小麦种植存在差异。南方人犁地后，将种子与草木灰混合，用手指播种。种植后，用脚后跟将土壤压实。在北方，他们被推着驴车到处走。图为北方农民播种后赶着毛驴压实土壤的场景。
\r\r 技术讲解\r\r （以本卷第一题[17]为例）
\r \r [1] 人的数量就是规律，钱的数量就是现实，现实就是规律，钱7=钱。
\r \r 拥有[2]点的人也是如此，如果将其转化为，计算就变得更容易了。
\r\r 原文\r \r [19] 今有天光，由七步变为四步，由五步变为三步。场的形状是什么？
\r\r 答案是12/35。
\r \r [20] 还有田光的九段和七段，但是从九段和十一段来看，Ta的几何是什么？
\r\r 答案：11 分中的7 分。
\r \r [21]从95步到55步还有Tamitsu。场的形状是什么？
\r\r 答案是9 中的4。
\r\r 《乘法的艺术》[1]说：“母亲的乘法是法则，儿子的乘法是现实，现实与法则相同。”
\r\r 注释\r\r [1] 乘法：分数相乘的算法。
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\r\r 张衡（公元78年—公元139年），河南省南阳市西坝（今河南省南阳市石桥镇）人，精通天文历法，曾从军。被雇佣。他曾两次担任统治天文学的王子勋章成员。他创造了世界上最古老的漏水天球，通过水力旋转，以及风震仪来测量地震的方向，并且是第一个正确解释月食是由月球进入地球阴影引起的人。他观察并记录了2,500 次月食。并绘制了中国第一幅较为完整的星图。
\r\r 翻译\r\r [19] 今天，有一片田野，宽阔，步幅很大。这片田野有多大？
\r\r 答案：方步。
\r\r [20] 有些田地很宽，台阶也很长，但是这个田地有多宽呢？
\r\r 答案：方步。
\r\r [21] 有些田地很宽，步幅很大，但是这个田地有多宽呢？
\r\r 答案：方步。
\r\r 解释\r\r [19] 所需的字段面积是一个平方步长。
\r\r〔20〕所需场地面积为平方步长。
\r\r [21] 所需场地面积为：平方步。
\r\r 技术讲解\r\r (以本卷第一题[21]为例)
\r\r [1] 分母相乘：分母相乘得到除数，59=45。
\r \r [2] 分子相乘是实数。分子相乘就是被除数，45=20。
\r \r 与[3] 规则相同，除数除以被除数得到20 平方步 45=平方步=平方步。
\r\r
\r\r 播种《天工开物》 插图古代人对于播种非常讲究。物种之间的距离有一定的标准。例如，种间距离为3英寸，行距为8英寸，行巢也窄，不利于幼苗成活；行巢太宽，对播种没有好处，也影响农民' 收获。可见播种农作物时也需要数学计算。
\r\r 原文\r\r [22] 现在，田光三步走三分之一，从五步走五分之二。场的形状是什么？
\r\r 答案是18步。
\r \r [23] 田光的74步是四分之三步，1594步是四分之五步。场的形状是什么？
\r\r 答案是129 步半。
\r \r [24] 田光的18步还有5/7步，23步还有6/11步。场的形状是什么？
\r\r 答案是7-11 级台阶，每英亩200 级台阶。
\r\r Daiko Tensho[1]说：分母乘以整体，分子随之而来，相乘是实数。规则是分母相乘。真理就像法律。
\r\r 注释\r\r [1] Daikoten 技术：一种将长度和宽度计算为混合字段的算法。
\r\r翻译\r\r [22]现有的田地又宽又长，但是这个田地的面积是多少？
\r\r 答案：18 平方步。
\r\r [23] 有些领域跨度很大；这块地的面积是多少？
\r\r 答案：方步。
\r\r [24] 有些场地更宽，步幅也更长。这块地的面积是多少？
\r\r 答：1亩方步。
\r\r 对于长度和宽度均为带分数的字段，算法将分母乘以整数部分，然后将分子相加（计算和），然后相乘以计算被除数。将分母乘以除数。将被除数除以除数即可得出结果。
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\r\r 水车灌溉《天工开物》 插图古代有——个龙骨水车，即木质抽水装置，用于灌溉农田。这种水车主要由木链、刮板等组成。通常安装在河边，底部的刮板伸入水中，利用链轮和人力（畜力）的传动原理，使木链旋转，从而使附在木链上的刮板旋转。河水被引至农田用于灌溉。照片中，一头牛拉动的木链正在给田地浇水。
\r\r 解释\r\r [二二]=18 平方步。
\r\r [二十三]方形楼梯。
\r\r [二十四]。
\r\r 技术讲解\r\r (以本卷第一题[24]为例)
\r\r 分母与其整体相乘，然后是分子。乘法是实数，分母乘法是一种方法：将分母乘以整数部分，将分子相加（形成和），然后通过相乘计算被除数。
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\r\r 原文\r\r [25] 今天我们从桂[1]和天光[2]走了12步，我们正在遵循[3]的21步。场的形状是什么？
\r\r 答案是126步。
\r \r [26] 距离Keita Hiro的5-5步和8-5步还有2/3步。场的形状是什么？
\r\r 答案是23 步，6 步中的5 步。
\r\r 该技术指出：将右侧的下一个值乘以宽度的一半。
\r\r 注释\r\r [1] Gui：指gui的形状，三角形。
\r\r [2] 宽：三角形底边的长度。
\r\r [3] From：三角形底边的高度。
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\r \r 仰韶文化遗址出土的彩陶图为仰韶文化遗址出土的彩陶。陶画的产生也促进了几何学的诞生，许多图形的完成需要数学和几何知识的参与。例如，绘制正方形和等腰三角形需要等长线段的概念，绘制多边形必须基于圆二等分的计算。关于大地湾燕邵早期遗址发现的彩陶，
已经出现了绘制得很标准的直角三角形、等腰三角形等，说明当时人们已经能够熟练运用这些几何图形来创造完美的图案了。 \r\r 译文\r\r 〔二五〕今有三角形田底边长12步，底边上的高21步。问这块田的面积是多少？ \r\r 答：126平方步。 \r\r 〔二六〕又有三角形田底边长步，底边上的高是步。问这块田的面积是多少？ \r\r 答：平方步。 \r\r 运算法则是：底边长的乘底边上的高。 \r\r 译解\r\r 〔二五〕如图1－2，所求田面积为： \r\r ×12步×21步＝126平方步。 \r\r \r\r （图1－2） \r\r 〔二六〕所求田面积为：平方步。 \r\r 术解\r\r （以卷第一题〔二六〕为例） \r\r 所求田面积为：平方步。 \r\r 原文\r\r 〔二七〕今有邪田[1]一头[2]广三十步，一头广四十二步，正从[3]六十四步。问为田几何？ \r\r 答曰：九亩一百四十四步。 \r\r 〔二八〕又有邪田，正广[4]六十五步，一畔[5]从一百步，一畔从七十二步。问为田几何？ \r\r 答曰：二十三亩七十步。 \r\r 术曰：并[6]两广[7]若袤而半之[8]，以乘正从若[9]广。又可半正从若广，以乘并，亩法而一[10]。 \r\r 注释\r\r [1]邪田：直角梯形田。 \r\r [2]头：直角梯形底边横放时，以“头”称其上下底，如图1－3。 \r\r \r\r （图1－3） \r\r [3]正从：高。 \r\r [4]正广：高。 \r\r [5]畔：直角梯形底纵向时，以“畔”称其上下底，如图1－4。 \r\r \r\r （图1－4） \r\r [6]并：相加。 \r\r [7]两广：直角梯形两底边。 \r\r [8]半之：以2相除。 \r\r [9]若：或者。 \r\r [10]亩法而一：以每亩240平方步作除数，得一结果。 \r\r \r\r 窖穴 原始社会晚期，每个村落都有大量的窖穴。窖穴多挖成方形或圆形，在开挖过程中，窖穴的口、底、壁都要求很规整。另外，窖穴的位置选择也很重要，这更有利于储存更多粮食和避免粮食受潮。 \r\r 译文\r\r 〔二七〕现有直角梯形田，上、下底边长分别为30步、42步，高64步，问这块田地的面积是多少？ \r\r 答：9亩144平方步。 \r\r 〔二八〕又有一块直角梯形田高为65步，上、下底边长分别为100步、72步。问这块田的面积是多少？ \r\r 答：23亩70平方步。 \r\r 算法：上、下底相加所得和的一半，乘以高。或者高的一半，乘以上、下底的和，然后以每亩240平方步除之，即得出结果。 \r\r 译解\r\r 〔二七〕如图1－3，直角梯形田面积=（30＋42）步×64步÷2＝2304平方步＝9亩144平方步。 \r\r 〔二八〕如图1－4，直角梯形田面积=（100＋72）步×65步÷2＝5590平方步＝23亩70平方步。 \r\r 术解\r\r （以卷第一题〔二八〕为例） \r\r 〔1〕邪田（直角梯形田）面积为： \r\r （上底+下底）×高÷2 \r\r 〔2〕亩法而一：用240平方步作除数，每240平方步为1亩。 \r\r 题〔二八〕所求邪田面积为：（100＋72）步×65步÷2＝5590平方步，5590÷240＝23亩70平方步。 \r\r 原文\r\r 〔二九〕今有箕田[1]，舌广[2]二十步，踵广[3]五步，正从三十步。问为田几何？ \r\r 答曰：一亩一百三十五步。 \r\r 〔三〇〕又有箕田，舌广一百一十七步，踵广五十步，正从一百三十五步。问为田几何？ \r\r 答曰：四十六亩二百三十二步半。 \r\r 术曰：并踵舌而半之，以乘正从。亩法[4]而一。 \r\r 注释\r\r [1]箕田：等腰梯形田。 \r\r [2]舌广：等腰梯形长底边。 \r\r [3]踵广：等腰梯形短底边，如图1－5所示： \r\r \r\r （图1－5） \r\r [4]亩法：即平方步化为亩时所用的除数240。 \r\r 译文\r\r 〔二九〕今有等腰梯形田的长底边为20步，短底边为5步，高为30步。问这块田的面积是多少？ \r\r 答：1亩135平方步。 \r\r 〔三〇〕又有一等腰梯形田的长底边为117步，短底边为50步，高135步。问这块田的面积是多少？ \r\r 答：46亩平方步。 \r\r 算法：上下底之和除以2，再以高相乘。以每亩240平方步除之，则得其结果。 \r\r 译解\r\r 〔二九〕所求田面积为： \r\r \r\r 〔三〇〕所求田面积为： \r\r 术解\r\r （以卷第一题〔二九〕为例） \r\r 〔1〕箕田（等腰梯田）面积=（踵广+舌广）×正从÷2，即（长底边长+短底边长）×高÷2。 \r\r 〔2〕用240平方步作除数，每240平方步为1亩。 \r\r 题〔二九〕所求田面积为： \r\r （20＋5）×30÷2＝375平方步， \r\r 375平方步÷240＝1亩135平方步。 \r\r \r\r 桔槔 桔槔是中国农村历代通用的旧式提水器具。它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆，当中是支点，末端悬挂一个重物，前端悬挂水桶。当人把水桶放入水中打满以后，可借杠杆末端的重力作用，轻易地将水提拉至所需处。 \r\r 原文\r\r 〔三一〕今有圆田，周三十步，径十步。问为田几何？ \r\r 答曰：七十五步。 \r\r 〔三二〕又有圆田，周一百八十一步，径六十步三分步之一。问为田几何？ \r\r 答曰：十一亩九十步十二分步之一。 \r\r 术曰：半周半径相乘得积步。 \r\r 又术曰：周径相乘，四而一。 \r\r 又术曰：径自相乘，三之，四而一。 \r\r 又术曰：周自相乘，十二而一。 \r\r 译文\r\r 〔三一〕现有圆形田，圆周为30步，直径为10步。问田的面积是多少？ \r\r 答：75平方步。 \r\r 〔三二〕又有一圆形田，圆周为181步，直径步。问田的面积是多少？ \r\r 答：11亩平方步。 \r\r 算法一：以圆周之半与半径相乘可得到圆田的面积。 \r\r 算法二：圆周与直径相乘，除以4。 \r\r 算法三：直径与直径相乘，乘以3除以4。 \r\r 算法四：圆周与圆周相乘，除以12。 \r\r \r\r 砻 砻是用来去掉稻粒外壳的一种工具。它用绳悬挂横杆，再将连杆和砻上的曲柄相连。当用两手反复且稍有摆动地推动横杆时，就可以通过连杆曲柄等构件使砻的�**氩糠中鹄础Ｕ庵只骺煽闯梢恢智俗爸谩Ｍ贾校湃苏诶庙萌サ舻究恰� \r\r 译解\r\r 〔三一〕圆田面积为： \r\r \r\r 〔三二〕圆田面积为：平方步（取π＝3）， \r\r 1亩＝240平方步， \r\r 平方步。 \r\r 术解\r\r 术曰列出了四种运算方法，以卷第一题〔三一〕为例说明其运算过程： \r\r 第一种算法： \r\r 圆田面积＝半周×半径＝＝75平方步。 \r\r 第二种算法： \r\r 圆田面积＝周径相乘÷4＝30步×10步÷4＝75平方步。 \r\r 第三种算法： \r\r 圆田面积＝直径×直径×3÷4＝10步×10步×3÷4＝75平方步。 \r\r 第四种算法： \r\r 圆田面积＝周长×周长÷12＝30步×30步÷12＝75平方步。 \r\r 原文\r\r 〔三三〕今有宛田[1]，下周三十步，径十六步。问为田几何？ \r\r 答曰：一百二十步。 \r\r 〔三四〕又有宛田，下周九十九步，径五十一步。问为田几何？ \r\r 答曰：五亩六十二步四分步之一。 \r\r 术曰：以径乘周，四而一。 \r\r 注释\r\r [1]宛田：即扇形田，见图1－6。传统解为球冠形，按这种注解，则本题的算法不准确，如刘徽所言：“此术不验。”本处采用扇形田的理解，则本题的解法不误（参见肖作政先生《宛田非球冠形》一文，载《自然科学史研究》第七卷，1988年第2期）。 \r\r \r\r （图1－6） \r\r 译文\r\r 〔三三〕现有扇形田，下周长30步，径长16步。问这块田面积是多少？ \r\r 答：120平方步。 \r\r 〔三四〕又有一扇形田，下周长99步，径长51步。问这块田的面积是多少？ \r\r 答：5亩平方步。 \r\r 算法：用径长乘以周长，除以4。 \r\r \r\r 甲骨文中的13个数字 在中国，数字出现的最早物证是殷商甲骨文（公元前14世纪—公元前11世纪），其中有13个记数单位。一、十、百、千、万，各有专名。这已经蕴涵有十进位制的萌芽。 \r\r 译解\r\r 〔三三〕设扇形弧长为L，半径为R， \r\r 则其面积平方步。 \r\r 〔三四〕扇形田面积平方步。 \r\r 术解\r\r （以卷一题〔三三〕为例） \r\r 宛田（扇形田）面积＝30步×16步÷4＝120平方步 \r\r 原文\r\r 〔三五〕今有弧田[1]，弦[2]三十步，矢[3]十五步，问为田几何？ \r\r 答曰：一亩九十七步半。 \r\r 〔三六〕又有弧田，弦七十八步二分步之一，矢十三步九分步之七，问为田几何？ \r\r 答曰：二亩一百五十五步八十一分步之五十六。 \r\r 术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一。 \r\r 注释\r\r [1]弧田：弓形田。 \r\r [2]弦：弦长。 \r\r [3]矢：弧高。 \r\r 译文\r\r 〔三五〕现有弓形田，弦长30步，弧高15步。问这块田的面积是多少？ \r\r 答：1亩平方步。 \r\r 〔三六〕又有一弓形田，弦长步，弧高步。问这块田的面积是多少？ \r\r 答：2亩平方步。 \r\r 算法：用弦长乘以弧高，弧高又自乘，两者之和除以2。 \r\r 译解\r\r 〔三五〕如图1－7，由弦长是弧高的2倍得知，此弓形田为半圆形田。所求面积为： \r\r \r\r （图1－7） \r\r 平方步（取π＝3.14），与古人答案稍有不同，古人在运算时取π＝3。 \r\r 〔三六〕设弦长步，弧高步， \r\r 所求弓形田面积平方步。古人的算法误差较大。 \r\r 术解\r\r 由于卷第一题〔三五〕与〔三六〕术解与译解均有差异，故以两题为例，说明古人算法。 \r\r 弓形田面积＝（弦×矢＋矢2）÷2， \r\r 将题〔三五〕所设条件代入公式，得所求田面积为： \r\r ［（30步×15步）＋（15步）2］÷2＝平方步＝1亩平方步， \r\r 将题〔三六〕所设条件代入公式，得所求田面积为： \r\r 平方步。 \r\r \r\r 连机碓 元朝 连机碓是以水为动力的一种谷物加工工具。元代王祯在《农书·农器图谱·机碓》中形容它说：“今人造作水轮，轮轴长可数尺，列贯横木，相交如枪之制。水激轮转，则轴间横木，间打所排碓梢，一起一落舂之，即连机碓也。”这是说连机碓在工作时，以一个大型的立式水轮带动装在轮轴上的一排互相错开的拨板，拨板拨动碓杆，从而使几个碓头间断地相继舂米。 \r\r 原文\r\r 〔三七〕今有环田，中周九十二步，外周一百二十二步，径五步，问为田几何？ \r\r 答：二亩五十五步。 \r\r 术曰：并中外周而半之，以径乘之为积步。 \r\r 译文\r\r 〔三七〕现有圆环形田，内圆周长是92步，外圆周长是122步，径长是5步。问这块田的面积是多少？ \r\r 答：2亩55平方步。 \r\r 算法：内圆周长与外圆周长的和除以2，再乘以径长。 \r\r 译解\r\r 〔三七〕设径长a＝5步，外圆半径为r、外圆周长C＝122步，内圆半径为r＇，内圆周长C＇＝92步。 \r\r 因公式：C＝2πr，故外圆半径， \r\r 内圆半径， \r\r 圆环形面积＝外圆面积－内圆面积 \r\r \r\r 术解\r\r 按古人的解题法则：将圆环形伸直，使成等腰梯形，按等腰梯形算出其面积。如图1－8。 \r\r \r\r （图1－8） \r\r 所求面积为： \r\r ［（中周＋外周）÷2］×径＝×5步＝535平方步＝2亩55平方步。 \r\r 原文\r\r 〔三八〕又有环田[1]，中周六十二步四分步之三，外周一百一十三步二分步之一，径十二步三分步之二。问为田几何？ \r\r 答曰：四亩一百五十六步四分步之一。 \r\r 术曰：置中外周步数[2]：分母、子各居其下[3]，母互乘子，分母相乘，通全步[4]，内分子[5]，并而半之。径亦通分内子，以乘周为实[6]。分母相乘为法，除之为积步，余积步之分。以亩法除之，即亩数也。 \r\r 注释\r\r [1]环田：指不足一匝的圆形田，如图1－9。 \r\r \r\r （图1－9） \r\r [2]置中外周步数：合并内外弧的长度。 \r\r [3]分母、子各居其下：意为在处理带有整数的分数时，先将整数放在一边，处理分母、分子。 \r\r [4]通全步：将带分数的步数化为假分数的步数。 \r\r [5]内分子：“内”意为“纳”。加上分子。 \r\r [6]实：被除数。 \r\r 译文\r\r 〔三八〕又有一环田，内圆弧长步，外圆弧长步，径长步，问这块田的面积是多少？ \r\r 答：4亩平方步。 \r\r 算法：合并内外圆弧长的步数：使分母、分子各在其整数部分之下，以此分母与分子交互相乘（进行通分）；又将整数部分化为分数，即用分母乘整数步数再加分子（化为假分数）。然后内外圆弧长度相加除以2。以径长的分母乘整步数再加分子，所得之数乘圆弧数（和数之半的分子）为被除数，以（圆弧长与径长）二者之分母相乘为除数，相除得环形田面积步数，相除不尽的余数即是面积步数的分数部分。以亩法（每亩240平方步）除之，便得亩数。 \r\r 译解\r\r 将圆环伸直，使成等腰梯形，按等腰梯形算出其面积，参见图1－9及卷第一题〔三七〕解法，所求面积为： \r\r \r\r 术解\r\r 与译解一样，将圆环伸直成为等腰梯形，按等腰梯形就能算出环田的面积，因涉及到分数，所以讲了许多分数运算法则。 \r