人类的智慧无穷无尽，数学中无穷思想的发展
chanong
|无穷大问题的由来：所有自然数及其平方中，哪个多，哪个少？这是意大利著名科学家伽利略·伽利雷于1638年提出的问题。
就人类常识而言，自然数的平方仍然是自然数，因此自然数的平方集合N一定是自然数集合的真子集。因此，集合中元素的数量必须是大于集合N中元素数量的自然数。然而，从另一个角度来看，似乎很难比较两者，因为每个自然数都唯一对应于一个平方数，并且两个集合的元素都是无限的。伽利略本人和他那个时代的其他科学家一样，对这个问题感到困惑，不知道如何回答，因为任何答案都会是矛盾的。这个问题后来被称为伽利略悖论。所谓“悖论”，就是一个自相矛盾的命题，但谁能想到，解决类似的“悖论”，却催生了一个叫做——集合论的学科，经过多年的发展，它成为了数学的基础。 200年了？不是吗？
历史上，人们对“无穷大”的理解经历了多次潜在无穷大和实际无穷大的争论。
数学中的真无穷思想是指将无限整体本身视为一个现成的单元、一个构造物；换句话说，将无限的对象视为自我完成的过程或无限的整体。根据这种观点，所有自然数都可以被认为是一个完整的无限整体，因此所有自然数都可以组成一个集合。康托尔的朴素集合论是基于实无穷大。以图像点为例，一条线段上有无数个点，但线段本身是有限的。
数学中的潜在无穷大的思想是指将无穷大解释为不断扩展、变化和生长的事物。它始终在建设中，从未完成，是一个充满可能性和不断创造的过程。根据这种观点，自然数不能组成一个集合，因为这个集合永远不是完整的，也不能形成一个实际的整体，而总是在构造中。图像点的一个例子是无数个点形成一条永无止境的直线。
事实上，自古希腊时代以来，无穷集就一直吸引着数学家和哲学家的关注。其中，芝诺（约公元前490年至公元前430年）提出的悖论可能是关于无穷的最早记录。其中之一是物体运动无法完成。如果一个物体想要移动一定的距离，它必须先移动一半的距离，然后再移动一半的距离。此过程将继续但无法终止，因此无法移动对象。这类似于1 秒。首先你必须经历半秒，然后四分之一秒，然后八分之一秒。如果一直这样下去，这一秒就永远不会结束，因为无论时间有多短，它都可以细分为无限的碎片。其实看起来是无穷无尽的，但是时间是正常流动的，1/2、1/4、1/8秒，时间越长，时间可能看起来无限，越来越短，但加起来就是一个常数值一秒钟。但毫无疑问，芝诺以悖论的形式阐明了无穷大，鼓励人们思考，对数学的发展产生了积极的影响。
古希腊的亚里士多德也认为无限集。然而，他不接受无限集合可以作为固定整体存在。对他来说，集合只是潜在无限的，而不是实际上无限的。
中国古人也很早就意识到了无穷的概念，《庄子天下篇》“一尺种子半日可收，取之不尽用之不竭”这句话也包含了无穷的概念。
伽利略在他的《两门新科学》中提出。由于长度不等的两条线段AB和CD上的点可以形成一一对应（见下图），因此我们可以想象它们包含相同数量的点。此外，他意识到先前的正整数可以与其平方数形成一一对应，从而导致无限多种“数量级”。伽利略说这是不可能的。所有无限量都是相同的，无法比较。他在无穷集上苦苦挣扎，但因为不可能而放弃了。
直到中世纪，哲学家们对于无限元素集是否确实存在的问题仍然存在分歧。当时，人们关注的一个事实是，如果将两个具有共同半径的同心圆上的点连接起来，两个圆上的点之间是一一对应的，但较大的圆的周长比它的圆周。正在做。这是一个小圈子，但人们无法解释这样的问题。
然而，微积分最初并不严谨，微积分的创造成为解决无限问题的动力。微积分刚建立时，采用了实无穷大的思想，将微积分中的dx、dy等符号视为实无穷小量，dy/dx是它们之间的比值，即在无穷小尺度上。一个比率。的斜率.在牛顿和莱布尼茨时代，实无穷大的概念很直观，但被批评不够严谨。后来，德国数学家卡尔·维尔斯特拉斯（Karl Weierstrass，1815-1897）创建了对极限的潜在无限描述，并提出了极限的-语言来代替实无穷大，作为微积分的基础。它是微积分的一部分，能够严格地表达和证明它是一个伟大的胜利。定义和证明的过程不涉及无限微积分的实际“量”，它是一个可以被证明的“程序”。无限近似。' 将被替换为'。后来，在1960年代初，德国数学家亚伯拉罕·罗宾逊提出了非标准分析，构建了超实数系统，使数学分析回归到实无穷大的思想（尽管这并没有被学术界主流所接受），数学界仍然主要使用-语言）。
在微积分的背景下，许多关于无限集的问题无法再回避。 19世纪末，一位年轻的德国数学家用他无与伦比的超人智慧拨开了笼罩在无穷集上的迷雾，最终向人们展示了“无穷大”的真正本质。 L.（1845-1918）的“无限集理论”。
康托尔和集合论
康托致力于找出如何比较两个无限集的大小。由于“有多少个元素”不再适用于无限集，因此我们需要重新定义“有多少”。对于两个有限集，“相同数量”可以定义为具有相同数量的元素。这与我们的直觉完全一致，理解起来几乎没有�**５杂诹礁鑫尴藜希榭霾⒎侨绱耍蛭颐俏薹ㄈ范ㄎ尴藜现性氐氖俊�
如何解决这个问题？康托尔放弃了放弃直接计算元素数量的低级方法而使用所谓的对应关系来比较集合大小的创新想法，我建议这样做。两个无限集具有相同数量的元素，这意味着它们具有相同的幂或基数。
这个解决方案好不好？也许这是一件好事。这是因为这个比较准则不仅解决了比较无限集大小的困难，而且也适用于有限集。
遵循康托尔方法得到了许多结果。自然数的平方有多少个，偶数有多少个自然数，有多少个负整数就有多少个。这是因为所有这些都可以一对一匹配。
然而，这种违反直觉的观点很难让人接受（例如，自然数有偶数和奇数，很难相信它们是同一个数）。也许真正让我们困惑的不是集合论的思想，而是整体大于部分的根深蒂固而简单的直觉。这种直觉对于有限集来说是非常自然的，但它不适用于无限集。换句话说，如果我们接受集合论，我们就必须放弃整体大于部分的传统观点。接受设定理论必须付出的代价。
这个价格值不值得？在很多人看来，不值得。在康托创立集合论的初期，主流数学界认为他的天才和大胆思想是异端，甚至把他逼疯了。然而，现在集合论的思想已被普遍接受。为什么？也许这是因为它能解决的问题比集合论创造的问题多得多。
由于自然数集是数学家最喜欢的集合，康托尔用数集来解释他的“势”概念，并引入了“可数”一词。 - 与自然数集合有一一对应关系，任意集合称为可数集合，是最小的无限集合。
首先，康托证明了整个有理数集是可数的。这是非常违反直觉的。有理数是“稠密的”。即两个不同的有理数之间存在无穷多个有理数，但不是自然数。康托尔对此结论给出了他著名的“间接证明”。
将正有理数放入数组中，如上所示。第一行包含所有分母为1 的正分数，即所有正整数，按大小排序，第二行包含所有分母为2 的正分数，按大小排序。并按顺序包含在第三行中排。分母为3 的所有正分数分母为正的分数.显然，所有正有理数都出现在这个数组中（因为有理数是分数）。请注意，某些有理数会重复出现。现在，从开始，沿箭头方向指定1 as 、 2 as 、 3 as 、 4 as ，依此类推。每个有理数必须对应于某个步骤中指定的自然数。因此，上面列出的有理数集合与自然数集合一一对应。去除重复项后，这组有理数仍然是一个无限集。因此，可数集合是最小的无限集合，因此它一定是可数集合。
康托尔还用另一种“对角法”来证明实数集合是不可数的。
假设所有实数与自然数一一对应，将所有实数写成无限小数（有限小数的情况在末尾加0，使其成为无限小数），并一一枚举。 去做。一个列表，例如：
a1=0.0147574628…a2=0.3721111111…a3=0.2323232323…a4=0.0004838211…a5=0.0516000000…………
康托尔发现，你总能在列表之外找到一个数字来表明它不完整。他创造了这样一个小数。小数点后第一位不等于a1的第一位，小数点后第二位不等于a2的第二位。即接下来的第i位不等于小数点ai的第i位。这个数字显然不在列表中，因为它与列表中的所有数字至少相差一个数量级。这证明了实数是不可数的。
按照康托尔的观点，可以得出许多看似“非理性”的结论：有限线段上的点与无限直线上的点一样多；一条1米长的线；正如曲面上有点一样对于地球来说，地球表面上的点与地球内部的点“数量相同”，并且两个球体上的点数量也相同。点，因为有。 等等。他明确指出，数轴上的实数比有理数多，无理数比有理数多，有理点的数量与无理点的数量相比几乎可以忽略不计。例如，如果x (-/2,/2)、tanx (-无穷大，+无穷大)，则存在数集(-/2,/2) 和(-无穷大，+无穷大)。马苏。存在一一对应的关系，因此两组中存在“相同数量”的数字。
我简单说一下为什么无理数的数量比有理数的数量多很多。我们知道有理数是无限重复的小数，无理数是不无限重复的小数。直观地想象你面前有10 个球，上面写着0 到9 的数字。闭上眼睛，随机抓一个球。写在球上的数字将用作小数点后第一位数字。放置球，返回并再次抓住它，它将用作第二个数字。继续无限期地抢球。生成有理数的概率完全可以忽略不计。就像洗一副牌并随机发牌一样，发到顺子的概率远低于发到无序的概率。同样，实数中“有规律”周期性出现的概率远低于“无规律”随机出现的概率，而事实上，无理数才是常态，有理数就是没有意义的数。
康托在数学上严格证明了“无穷大”也是不同的。并非所有无限集都具有相同的大小，并且无穷大的大小也是相等的。最令人难以置信的结果是无限集合的整体与其部分一一对应，这是数学中《几何原本》年前的整体大于部分的理论，它违反了公理统治了世界。两千多年。康托尔在无限的世界里，在有限的范围内推翻了欧几里得牢不可破的真理。
``《几何原本》 公理：
公理1: 相同数量的数量彼此相等。
Axiom 2: 如果将相同数量添加到相同数量，则总和仍然相等。
公理3: 如果用相同的数量减去相同的数量，则差值相同。
Axiom 4: 可以相互重叠的对象是全等的。
Axiom 5: 整体大于部分。 ”
康托尔的无限集理论彻底改变了数学的发展。然而，康托尔的理论是超越直觉（反直觉）的，它在解决长期悬而未决的问题的同时，也颠覆了很多人根深蒂固的信念，所以很难马上接受。他的许多结论，例如有理数与实数相比微不足道，部分等于整体，无穷大本身具有大小，这些结论得到了当时许多数学家的呼应，甚至是最有声望的数学家，但没有被接受。
康托尔的集合论一经问世，就遭到了各种诽谤、嘲笑和批评。几何学家克莱因（Klein，1849-1925）无情地批评了康托尔的思想，数学家韦尔（Weyl，1885-1955）称康托尔的集合论为“雾中之雾”，法国数学家庞加莱（Poincar，1854-（1912））称集合论为“病态数学”。 ”。如你所知，这些都是当时数学界最有影响力的人物。康托尔的众多对手中就有他的老师克罗内克。
1884年，康托尔因大脑过度使用和缺乏理解力，以及家庭生活的经济压力而患上抑郁症，最终导致精神失常，送进医院。但症状一好转，他就全身心投入集合论的研究，自信地说：“我的理论坚如磐石。任何试图动摇它的人都会搬起石头砸自己的脚。”1918年，康托去世。我带着许多遗憾和无尽的痛苦离开。
康托尔的集合论在当时并没有获得普遍的理解和支持，受到了一些人的批评和攻击，但也有戴德金、维尔斯特拉斯、希尔等有远见的数学家做到了。我看到了康托集合论中蕴含的智慧之光。维尔斯特拉斯提出了一种具有潜在无限方法的极限-语言，但他本人非常看重康托尔实际上无限的观点，并且是当时为数不多的康托尔支持者之一（康托尔一世曾经是他的学生）。
康托尔的集合论揭示了无穷大包裹的奥秘，最终揭示了无穷大背后隐藏的永恒之谜。康托尔认为，数学理论必须肯定无穷大的存在，但有限的性质不能强加于无穷大，我也相信，如果我们有认知能力，我们就能认识无穷大。
最终，真理之光将会照耀出来。经过众多数学家的努力，康托尔的集合论思想逐渐被很多人所接受，并最终成为数学发展的一个里程碑，甚至可以说带来了人类思维的一场革命。如今，集合论已成为数学的一个独立分支，是一切数学的理论基础。
事实上，现代科学中的许多概念，不仅仅是数学，都是违反直觉的。根据我们的直觉，太阳绕着地球转，因此日心说是违反直觉的。根据我们的直觉，牛顿惯性定律是违反直觉的，因为移动物体需要外力。然而，自科学革命以来，我们已将这些反直觉的观点视为科学常识，并在实际应用中取得了相当大的成功。此外，数学是“形式世界”的知识，从这个角度来看，出现一些违反直觉的东西也就不足为奇了。
令人震惊的创新往往是反直觉的、不受权威约束、敢于挑战经典、打破金科玉律。例如，非欧几何的诞生就是基于对第五公设《几何原本》的修改。
”《几何原本》 官方：
假设1: 您可以通过任意两点画一条直线。
假设2: 一条有限直线可以继续延伸。
假设3:可以以任意点为圆心、任意长度为半径画圆
假设4: 所有直角都彼此相等。
假设5: 一条直线与同一平面内的另外两条直线相交。如果线同一侧的两个内角之和小于两个直角之和，则两条线在此侧相交。无限扩张后。 ”
自从《几何原本》诞生以来，第五公设就受到了数学家们的广泛关注，因为一个公设应该尽可能的简单明了，而第五公设则不然。多年来，许多数学家试图从其他公理和假设中推导出它，但都失败了。这项工作取得的唯一进展是找到一个相当于第五条公设的更简单的陈述。换句话说，通过直线以外的点只能画一条平行线。 19世纪，革命性的几何概念诞生，欧几里得几何不再是唯一描述物质空间的几何，基于各种公理建立各种几何体系成为可能。就此，高斯、罗巴切夫斯基、博尔吉奥等人创立了罗氏几何。罗氏几何将欧几里得几何的第五条公设定义为“在一个平面上，至少有两条直线穿过已知直线之外的点，且共面且不与该直线相交。”“有”。随后黎曼创立了黎曼几何，用“同一平面上的任何两条直线必须相交”取代了欧几里得几何的第五条公设。罗氏几何和黎曼几何统称为非欧几何。
罗素悖论
康托尔之后，集合论继续发展，但随着罗素悖论的出现，集合论陷入了危机。
罗素悖论与古代逻辑悖论—— 说谎者悖论具有相同的结构。这个悖论可以说是所有逻辑悖论的始祖，只不过是最简单的形式。
我说的是谎言
这句话是真是假？如果是真的，那就是谎言；如果是谎言，那就是真的。逻辑中的二项式原理指出，一个命题不能为真或为假，或者两个矛盾的命题不能同时为真或为假。然而，根据二元对立原理，无法判断说谎者悖论是真是假。
罗素悖论让当时的数学界和逻辑界都认识到了问题的严重性，成为数学史上的第三次危机。
罗素悖论震动了整个数学界。难怪德国数学家弗雷格（1848-1925）在收到罗素的信后，在他即将出版的《算术基本规律》的第二卷末尾写道：它的根基崩溃了，当我等待这本书印刷时，罗素先生的一封信让我陷入了如此尴尬的境地。 ”
集合论的主要思想之一是泛化原理，正是由于这一原理，无穷大被引入数学中。然而，人们很快发现，集合论的这个一般原理正是悖论的主要核心。由于泛化原理的思想应用于数学定义上，即允许有相应条件的指定集合。这样一来，矛盾就不可避免地产生了。另一方面，集合论包含着“刺穿所有盾牌的矛”。也就是说，从任何集合S 中，我们都可以获得更大的集合，例如它的幂（来自哪个集合）。 （由所有子集组成的集合），这个集合的外延是无限的、无条件的；另一方面，集合论也包含了一个“能够承受所有矛盾的盾牌”。包含所有集合的集合，即最大的集合。这种矛盾总是出现在康托尔的集合论中。例如，最大集合的幂集是否大于最大集合？
1908年，德国数学家策梅洛（1871-1953）对“集合”增加了必要的限制，通过排除太大的集合（例如“所有集合的集合”）来消除矛盾。他首先提出了公理集合论。他提出了七个公理，必须满足这些公理才能形成一个集合。随后，经过许多人，特别是德国数学家弗兰克尔（1891-1965）的修改和完善，产生了较为严格的形式公理体系。因此，变换后的公理集合论通常称为ZF系统。 ZF系统的公理集合论可以建立严格的数学基础。也就是说，ZF系统的一致性保证了数学的一致性。不过，ZF系统本身并没有被证明是一致的，所以不能保证它会完全一致。在那里，庞加莱生动地评论道：“羊被围起来是为了防狼，但我们不知道围墙里面是否有狼。”
1931年，25岁的奥地利数学家哥德尔（1906-1978）证明了著名的“哥德尔不完备定理”。该定理表明，形式系统无法完整地描述数学理论，总有一些问题无法根据形式系统的公理得到解答。
哥德尔不完备定理首次揭示了“真实”和“可证明”是数学中的两个不同概念。可证明的命题当然是正确的，但正确的命题不一定是可证明的。这一切打破了人们对数学真理的传统理解，永远改变了数学家看待真理的方式，并将对数学真理的理解提升到了新的高度。
无尽的概述
现代数学的主流是建立在古典数学的基础上的，古典数学是建立在ZF公理集合论体系的基础上，承认无穷集合的存在，因此古典数学接受实无穷的概念以及古典数学中的无穷思想，并不排除存在，可以被认为是潜在无限与实际无限的辩证统一。
从哲学上来说，自公元前400多年以来，关于无穷大概念的争论就一直存在，潜在无穷大和实际无穷大之间关于无穷大概念的争论一直持续到今天。坚持势无穷理论会导致一些与现实不符的现象（例如芝诺关于时间和空间无限可分性的悖论的核心之一就是相应的无限可分性是“势无限”）永远不会完成的“无限”过程。现代数学如果用实无穷理论，认为相应的无穷除法虽然是一个无穷过程，但它是一个完整的过程，不存在悖论，那它就会被打败。其大部分内容。当然，坚持现实的无限理论有时会与一些日常知识相矛盾（例如，整体大于部分不再绝对正确）。基于哲学上对无穷大的不同理解的影响，数学中一直存在潜在无穷大和实际无穷大的争论。
在经历了数学界“一代又一代人才领路数百年”的兴衰之后，无穷大的两个概念在现代数学中日益趋同。事实上，它们在数学中早已确立。它与实际无限的想法和潜在无限的想法密不可分。使用标准和非标准分析表明，使用两种不同的无限思维基础并采取不同的方法是自洽的。这意味着两个无限的思想可以避免“二虎相争，一伤”。 “均匀分布，光芒四射”。
采用辩证的视角或许有助于我们更清楚地理解两者之间的关系。
辩证法告诉我们要从两个方面看问题的整体。就像著名的“金银盾牌”故事一样，看到金面的盾牌被称为金盾牌，看到银面的盾牌被称为银盾牌。盾牌必须“一侧是金，另一侧是银”。数学家以同样的方式理解无穷大。一方面，当我们看到无穷大的现实时，我们说无穷大是实际无穷大；另一方面，当我们看到无穷大的可能性时，我们说无穷大是潜在无穷大。就像光的无限一样，“无限是实际的无限和潜在的无限”，“波和粒子的二元性”也是如此。无限本身就是一个矛盾，它不仅是我们趋近无限的一个过程，而且是一个可以研究的实体和对象。而无穷则是这两个矛盾方面的对立统一。事物可能不是“这个或那个”，而是“这个或那个”。实际无穷大和潜在无穷大只是同一枚硬币的两个方面。这不是深奥的哲学论证，而是辩证法给我们上的一堂生动的课。