：对拓扑空间的基或邻域基的元素“个数”加以限制
wujiai
|§5.1 第一和第二可数公理
本节要点：
掌握满足第一、第二可数公理的空间定义及其关系；
掌握满足第一、第二可数公理的空间连续映射的不变性、有限可积性、遗传性等问题；
掌握接近一点的性质以及满足第一可数公理的空间序列的性质；
掌握公共空间，哪些空间是第一可数性公理空间，哪些是第二可数性公理空间。
从§2.6节的讨论可以知道，基和邻域基对于确定拓扑空间的拓扑和验证映射的连续性具有重要意义。 它们的元素“数量”越小，就越方便讨论。 因此，我们试图限制拓扑空间的基或邻域基的元素“数量”，但我们希望受限的拓扑空间仍然能够容纳大多数常见的拓扑空间，例如：欧几里得空间、度量空间等。 ． 以下讨论表明，将基或邻域基的元素“数量”限制为可数是适当的。
如果某个拓扑空间的基或某一点的邻域基是可数族，我们分别称其为可数基和可数邻域基。
定义 5.1.1 如果拓扑空间具有可数基，则称该拓扑空间是满足第二个可数性公理的空间，或者简单地
空间。
定理 5.1.1 实数空间 R 满足第二个可数性公理。
证明 设 B 是所有以有理数为两个端点的开区间族。 显然B是一个可数家庭。
设 U 为 R 中的开集。对于每个 x ∈ U，有一个实数
>0，因此 x 是中心并且
是一个具有半径的球形邻域
B(x,
)=(x-
,x+
选择有理数
， 制作
所以我们有
． 这意味着U可以表示为B的一些成员的并集。这证明B是R的基础。
R 具有可数底 B，因此 R 满足第二个可数性公理。
由于离散空间中的每个单点子集都是一个开集，而单点集不能表示为与其自身不同的非空集的并集，因此离散空间的每个基都必须包含其所有的单点子集。 因此，包含不可数个点的离散空间是不满足第二可数性公理的空间。
定义5.1.2 如果拓扑空间在其每个点上都有可数邻域基，则称该拓扑空间是满足第一可数公理的空间或简称为
空间。
定理5.1.2 每个度量空间都满足第一可数公理。
证明：假设
例 5.1.1 不满足第一可数性公理的空间示例。
假设X是一个包含不可数个点的可数补空间。 我们证明 X 在其任何点上都不具有可数邻域基。 因此 X 不满足第一可数性公理。
用反证法证明这一点。 假设X在点x∈X处有可数邻域基ψ。 那么对于任意 y∈X, y≠x, ∵
，，所以
，对于X中所有与x不同的点，合并这个包含关系两边，可以看出
既然定了。 矛盾。
定理 5.1.3 每个满足第二个可数公理的空间都满足第一个可数公理。
证明：假设X是满足第二可数公理的空间，B是其可数基之一。 对于每个 x∈X，根据定理 2.6.7，
={B∈B|x∈B}
是 x 点的邻域基。 它是B的一个亚科，所以它是一个可数的家族。 则 X 在点 x 处有可数邻域基 B。
定理 5.1.3 的逆命题不成立。 因为任何离散空间显然都满足第一可数公理，但如前所述，包含不可数点的离散空间并不满足第二可数公理。
定理5.1.4 假设X和Y是两个拓扑空间，f:X→Y是全连续开映射。 如果 X 满足第二可数性公理（满足第一可数性公理），则 Y 也满足第二可数性公理（满足第一可数性公理）。 （这个是关于连续映射下是否保持属性的问题）
证明假设 X 满足第二个可数性公理，
是它的可数基础。 由于 f 是开映射，
={f(B)|Bε
} 是 Y 中由开集组成的可数族。只需证明
是 Y 的基。假设 U 是 Y 中的开集，则
(U) 是 X 中的开集，因此存在
由于 f 是满射，我们有
也就是说，U 是
某些元素的并集。这样就完成了
是 Y 基的证明。
该定理的证明与满足第一可数性公理的情况类似。 请读者自行提供证据。
根据定理5.1.4可知，满足第一可数公理和第二可数公理的拓扑空间的性质都是拓扑不变性质。
拓扑空间的某些性质称为可遗传性质。 如果一个拓扑空间具有这个性质，那么它的任何子空间也将具有这个性质。
例如，离散和平庸是可遗传的属性，但连通性显然是不可遗传的。
拓扑空间的某些性质称为开子空间（或闭子空间）可遗传的性质。 如果一个拓扑空间具有这个性质，那么它的任何开子空间（闭空间）也具有这个性质。
例如，虽然局部连通性不是可遗传的属性，但对于开放子空间来说它是可遗传的。 （参见§4.4练**3）将来我们会接触到封闭子空间的一些遗传性质。
接下来的两个定理表明，满足第一（或第二）可数公理的拓扑空间的性质是可遗传且有限可积的。
定理5.1.5 满足第二可数性公理（满足第一可数性公理）的空间的任何子空间都是满足第二可数性公理（满足第一可数性公理）的空间。
证明：假设X是满足第二可数公理的空间，B是其可数基之一。如果Y是X的子集，根据定理3.1.7，集合族
={B∩Y|B∈B} 是子空间Y的基，这显然是一个可数族。
该定理的证明与满足第一可数性公理的情况类似。 请读者自行提供证明。
定理5.1.6 假设
是满足第二个可数性公理的 n 个空间（满足第一个可数性公理）。然后是乘积空间
满足可数性第二公理（满足可数性第一公理）。
为了证明，我们只需证明n=2的情况即可。
设置
都是满足第二个可数公理的空间，
分别是它们的可数基。根据定理3.2.4，集合族
是产品空间
以此为依据，显然是一个可数家族。
该定理类似于 n=2 满足第一可数性公理的情况。 请读者自行提供证明。
根据定理5.1.l、定理5.1.5和定理5.1.6，我们立即知道：（事实上，这个推论很容易直接证明（见练**1）。）
推论 5.1.7n 维欧几里得空间
的每个子空间都满足第二个可数公理。
在本节的其余部分中，我们讨论满足可数性第一公理的空间中的序列的属性。 读者会发现，这个拓扑空间中序列的性质与我们在数学分析中看到的非常相似，尤其是此类拓扑的定理 2.7.2 和定理 2.7.3 的逆命题。 空间已建立。
定理5.1.8 假设X是拓扑空间。如果x∈X存在可数邻域基，则x点存在可数邻域基
使得对于任意 i∈
有
，现在
证明 {
} 是点 x∈X 处的可数邻域基。 对于每个 i∈
，制作
方便直接验证
满足定理要求的是 x 点的可数邻域基。
（现在
这是一个邻里的基本套装，一套又一套。 该定理常用于选择序列中趋于 x 的点。 ）
定理 5.1.9 假设 X 是满足第一个可数公理 A 的空间
X。那么点x∈X是集合A的凝聚点的充分必要条件是集合A-{x}中存在收敛于x的序列。
证明定理充分性部分的证明见第二章定理2.7.2。下面完成必要性部分的证明。
设x∈X为集合A的凝聚点，根据定理5.1.8，可得
是在 x 点的可数邻域基组，满足条件：对于每个，i∈
,
，因为
， 选修的
． 顺序{
} 位于 A-{x} 中。 我们证明 lim
=x(x→∞) 如下：
如果 U 是 x 的邻域，那么由于
是在 x 处设置的邻域基，因此存在 N>O 使得
．所以当 i≥N 时，我们有
定理5.1.10 假设X和Y是两个拓扑空间，其中X满足第一可数公理； x ∈ X。 那么映射f:X→Y在点x∈X处连续的充要条件是：如果序列
} 收敛于 x，则序列 {f(
)} 收敛于 f(x)。
证明定理必要性部分的证明如定理2.7.3所示。 下面完成充分性部分的证明。
假设定理中所述的条件成立，我们需要证明映射f:X→Y在x点是连续的。 使用矛盾证明。假设映射 f 在点 x 处不连续，这意味着 f(x) 具有邻域 V，使得
(V) 不是 x 的邻域。这意味着 x 的任何邻域 U 都不能包含在
(V)5.1空间，即对于x的任意邻域U，包含关系
不成立，也就是说
总结上一段的论点，可以看出 f(x) 有一个邻域 V，对于 x 的任何邻域 U，
现在假设
是点 x 处的可数邻域基，满足条件：对于每个 i∈
,
。选择
使 f(
)εf(U)∩
，现在
． 显然，序列 {
}收敛于x。 然而，序列 {f(
)} f(x) 的邻域 V 中没有点，因此不会收敛到 f(x)。 这与反证假说相矛盾。 因此，反证假说不成立，因此映射 f 在点 x 处是连续的。
定理5.1.11 假设X 和Y 是两个拓扑空间，其中X 满足第一可数公理。 那么映射 f:X→Y 是连续映射的充要条件是：如果序列
} 收敛于 x∈X，则序列 {f(
)} 收敛于 f(x)。
证明这是因为当且仅当映射在其域中的每个点都是连续的时，映射才是连续映射。 （参见定理 2.3.5。）